چهار شنبه ۱۳۹۷/۷/۲۵
Skip Navigation Linksانتشارات فاطمی > آرشیو اخبار > متن خبر

جبر خطی را درست یاد بگیریم ؛ معرفی کتاب جبر خطی اکسلر

جبر خطّی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعۀ ماتریس‌ها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطی) ، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های معادلات خطی می‌پردازد.د کارایی‌های فراوان و گوناگون آن در ریاضیات و محاسبات گسسته طیف گسترده و وسیعی را شامل می‌گردد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسه تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطّی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی، و علوم اجتماعی پیداکرده است.

نخستین باری که دانشجویان جبر خطی سروکار داشته‌اند، احتمالابا فضاهای اقلیدسی و ماتریس‌ها کار کرده‌اند. در عوض، این کتاب بر فضاهای برداری مجرد و نگاشت‌های خطی تکیه می‌کند.

تقریبا تمام کتاب‌های جبر خطی برای اثبات این عملگر خطی روی فضای برداری مختلط با بُعد متناهی مقدار ویژه دارد، از دترمینان استفاده می‌کنند. کار با دترمینان‌ها مشکل و غیرشهودی است و معمولا تعریف آن‌ها بدون ارائه‌ی دلیل و انگیزه بیان می‌شود. برای اثبات این قضیه‌ی مربوط به وجود مقدار ویژه روی فضای برداری مختلط، بیشتر کتاب‌ها باید دترمینان را تعریف کنند و ثابت کنند نگاشت خطی وارون‌پذیر نیست اگر و فقط اگر دترمینان صفر شود، و آن‌وقت چند جمله‌ای مشخصه را تعریف کنند. این روش غیرمستقیم (زجرآور؟) به دانشجویان حس درستی از چرایی وجود مقادیر ویژه نمی‌دهد. در مقابل، اثبات ساده‌ای که بدون استفاده از دترمینان در این‌ کتاب آورده شده، دید بیشتری می‌دهد. با انتقال این دترمینان‌ها، به انتهای کتاب، راه تازه‌ای به سمت هدف اصلی جبر خطی، یعنی درک ساختار عملگرهای خطی، باز می‌شود.

این کتاب موضوع را از ابتدا آغاز می‌کند، بدون هیچ پیش‌نیازی مگر همان انتظار معمول از پختگی مناسب در ریاضیات. حتی اگر دانشجویان مقداری از مطالب چند فصل نخست را پیش از این دیده باشند، احتمالا با نوع تمرین‌هایی که آورده شده، که حل اغلب آن‌ها نیاز به درک اثبات‌ها دارد، ناآشنا هستند.

هدفی که از آموزش هر قضیۀ خاصی مهم‌تر است، توانمند کردن دانشجویان به منظور فهمیدن و راحت کار کردن با اشیای جبر خطی است. ریاضیات را تنها با تمرین می‌توانید یاد بگیرید. خوشبختانه، در کتاب جبر خطی تمرین‌های خوب زیادی وجود دارد.

 

برای اطلاعات بیشتر در مورد نسخه انگلیسی کتاب، می‌توانید به وب‌سایت شخصی شلدون اکسلر axler.net مراجعه کنید. ممکن است گاه و گاه بخش‌های تازه‌ای در مورد سایر موضوعات آورده شود.

در اینجا گزیده ای از مطالب اصلی کتاب به صورت فصل به فصل می‌آورده شده است:

فصل 1: فضاهای برداری را در این فصل تعریف می‌شوند و ویژگی‌های اساسی آن بسط داده می‌شوند.


فصل 2: استقلال خطی، گسترده و بُعد، که اساس نظریۀ فضاهای برداری با بُعد متناهی را شکل می‌دهند، تعریف می‌شوند.


فصل 3: در این فصل نگاشت‌های خطی معرفی خواهد شد. قضیۀ کلیدی این فصل قصیۀ اساسی نگاشت‌های خطی  است.


فصل 4: بخشی از نظریۀ چند جمله‌ای‌ها که برای درک عملگرهای خطی لازم است، در این فصل آورده شده است. در این فصل از جبر خطی خبری نیست!


فصل 5: ایدۀ مطالعۀ عملگرد خطی با تحدید آن به زیرفضاهای کوچک در بخش ابتدایی این فصل، شما را به مفهوم بردار ویژه می‌رساند. بخش اصلی این فصل، اثبات وجود مقدار ویژه روی فضاهای برداری مختلط است. سپس از این قضیه برای نشان دادن این که هر عملگرد خطی روی فضای برداری مختلط نسبت به پایه‌ای ماتریس بالا مثلثی دارد، استفاده می‌شود. تمام این‌ها بدون تعریف دترمینان و چند جمله‌ای مشخصه انجام می‌شود!


فصل 6: در این فصل فضاهای ضرب داخلی تعریف می‌شوند و ویژگی‌های اساسی آن به همراه ابزارهای استانداردی مثل پایه‌های متعامد یکه و فرایند گرام – اشمیت بسط داده خواهند شد.
فصل 7: بخش اصلی این فصل، قضیه طیفی است که عملگرهای خطی‌ای را توصیف می‌کند که برای آن‌ها پایۀ متعامد یکه‌ای تشکیل شده از بردراهای ویژه وجود دارد. 


فصل 8: در این فصل چند جمله‌ای مینیمال، چند جمله‌ای مشخصه و بردارهای ویژه تعمیم یافته معرفی می‌شود. دستاورد اصلی این فصل، توصیف عملگر خطی روی فضاهای برداری مختلط با استفاده از بردارهای ویژه تعمیم یافتۀ آن است. با استفاده از این توصیف می‌توانید بسیاری از قضیه‌هایی را که به طور معمول با فرم ژوردان ثابت می‌شوند، اثبات کنید.


فصل 9: در این فصل عملگرهای خطی روی فضاهای برداری حقیقی در مرکز توجه هستند. در این‌جا تکنیک اصلی مختلط‌سازی است، که توسیع طبیعی عملگر خطی روی فضای برداری حقیقی به عملگرهای خطی روی فضای برداری مختلط است. مختلط‌سازی به شما این امکان را می‌دهد تا نتایج مربوط به فضاهای برداری مختلط را به آسانی به فضاهای برداری حقیقی انتقال دهید.


فصل 10: در این فصل رد و دترمینان (روی فضاهای برداری مختلط) به صورت مجموع مقدارهای ویژه و حاصل ضرب مقدارهای ویژه، با احتساب چندگانگی، تعریف می‌شوند. بیان این تعریف‌ها که به سادگی می‌توان آن‌ها را به خاطر سپرد با رویکرد مرسوم به مقدارهای ویژه ممکن نبود، چون روش مرسوم برای اثبات این که مقدارهای ویژۀ کافی وجود دارند، از دترمینان استفاده می‌کرد. اکنون قضیه‌های استاندارد در مورد دترمینان بسیار واضح‌تر می‌شوند

در این کتاب معمولاً جبر خطی به طور هم‌زمان برای فضاهای برداری حقیقی و مختلط پیش برده شده و فرض شده F نشان ‌دهندۀ اعداد حقیقی یا مختلط باشد. اگر شما دوست دارید F را هیأتی دلخواه در نظر بگیرید، بهتر است نگاهی به نظرات انتهایی کتاب بیندازید. در این سطح ترجیح نویسنده پرهیز از هیأت‌های دلخواه است، چون آن‌ها تنها باعث را انتزاعی‌تر می‌کنند بدون این‌که مطلب تازه‌ای در جبر خطی به شما بیاموزند. همچنین، دانشجویان راحت‌ترند که به چند جمله‌ای‌ها به چشم تابع نگاه کنند تا این‌که آن‌ها را اشیای کلی‌تری در نظر بگیرند.

 

برای خرید کتاب با 10 درصد تخفیف، اینجا کلیک کنید.

گروه بندی کتاب ها