پیشگفتار ناشر
سابقهٔ انتشار کتاب‌های دانشگاهی در ایران به تأسیس دانشگاه تهران و راه‌اندازی مؤسسهٔ انتشارات دانشگاه تهران باز می‌گردد. پس از آن، با تأسیس دانشگاه‌های شیراز و صنعتی شریف در اوایل دههٔ 50، نگرش جدیدی در انتشار کتاب‌های دانشگاهی مطرح شد که پس از تأسیس مرکز نشر دانشگاهی قوامی درخور پیدا کرد. در این رهگذر، ناشران دانشگاه‌های دولتی و ناشران بخش خصوصی نیز در تولید کتاب‌های دانشگاهی نقش عمده‌ای ایفا کرده‌اند.
انتشارات فاطمی، با بیش از 25 سال فعالیت در نشر کتاب‌های علمی و آموزشی و انتشار کتاب‌های دانشگاهی، برنامهٔ تازه‌ای برای توسعه این بخش در موضوعات گوناگون تدوین کرده است. اکنون، در مرحلهٔ نخست این برنامه، فعالیت خود را بر کتاب‌های بنیادی و فراگیر متمرکز کرده است. از‌این‌رو، در آغاز، یکی از کتاب‌های دارای این ویژگی‌ها را در حوزهٔ علوم پایه و مهندسی با عنوان حساب دیفرانسیل و انتگرال منتشر می‌کند.
برنامهٔ جدید انتشارات فاطمی در حوزهٔ کتاب‌های دانشگاهی با انتشار کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال، تألیف دکتر سیاوش شهشهانی، استاد دانشگاه صنعتی شریف، که سال‌ها ریاضیات عمومی (حساب دیفرانسیل و انتگرال) تدریس کرده است و دیدگاه‌های نوآورانه‌ای در تدریس حساب دیفرانسیل و انتگرال دارد، آغاز شده است.
انتشار این کتاب طلیعه‌ای نوید‌بخش است و برای یکایک همکاران انتشارات فاطمی که در ویرایش، طراحی، و فرایند تولید این اثر نقشی بر عهده داشته‌اند افتخار‌آمیز و شوق‌برانگیز است.
انتشارات فاطمی در برنامهٔ نشر کتاب‌های دانشگاهی خود در وهلهٔ نخست به نشر کتاب‌های تألیفی مشابه، که نوگرا باشند، در موضوعات مختلف اقدام خواهد کرد و در عین حال برنامهٔ مشخصی نیز برای ترجمه و نشر کتاب‌های درسی دانشگاهی که شهرت جهانی دارند تدوین کرده است.
امید است این اقدام انتشارات فاطمی مورد توجه دانشجویان و استادان محترم قرار گیرد.

پیشگفتار
در بسیاری از رشته‌های دانشگاهی درس یا درس‌هایی با نام ‌آن رشته همراه پسوند «عمومی» عرضه می‌شود، مانند فیزیک عمومی، شیمی عمومی، یا روان‌شناسی عمومی. در این درس‌ها معمولاً یک یا دو هدف به نسبت‌های متفاوت دنبال می‌شود. یک هدف گشودن دیدهٔ تازه‌واردان به حوزه‌های بحث و دستاورد‌های بزرگ رشته است و هدف دیگر یاد دادن آن دسته از مفاهیم و ابزار‌های رشته که برای پیگیری دروس پیشرفته یا بهره‌گیری کاربردی از آن ضروری است. بدنهٔ اصلی دروس ریاضیات سال اول دانشگاه برای رشته‌های علوم و مهندسی، چه این درس‌ها با عنوان ریاضیات عمومی ارائه شوند چه با نام دیگر، حساب دیفرانسیل و انتگرال یا آنالیز ریاضی است. این امر توجیهی طبیعی دارد. حساب دیفرانسیل و انتگرال نیرومند‌ترین ابزار ریاضی برای صورت‌بندی و حلّ مسائل کمّی غیرخطی است. از اواخر قرن هفدهم میلادی، که کارایی این بخش از ریاضیات در بررسی پدیده‌های غیرخطی آشکار شد، علوم فیزیکی و کاربرد‌های مهندسی آن در بستر آنالیز ریاضی رشد و پیشرفت کرده‌اند به گونه‌ای که امروز طرح بسیاری از موضوع‌های علوم طبیعی و مهندسی فقط در این چارچوب و با این زبان طبیعی به نظر می‌رسد. از این‌رو، از نیمهٔ دوم قرن هجدهم شاهد شکل‌گیری سنت نگارش کتاب‌هایی تعلیمی در آنالیز ریاضی بوده‌ایم که مخاطب آن‌ها فقط جویندگان علم ریاضی نیستند، بلکه جماعت بزرگ‌تری هستند که شامل استفاده‌کنندگان از این دانش هم می‌شود. نمونه‌های بارز این تألیفات کتاب‌هایی هستند که ریاضی‌دانان بزرگ فرانسه از اوایل قرن نوزدهم برای تدریس در مراکزی چون مدرسهٔ پلی‌تکنیک نوشته‌اند و این سنّت همچنان ادامه دارد.
تلاش‌های تعلیمی و تألیفی در آنالیز ریاضی بازتاب پُرثمری برای این رشته و تمامی ریاضیات داشته است. در آغاز شکل‌گیری آنالیز ریاضی، مفاهیم بنیادی آن نه تعریف دقیق ریاضی داشتند و نه مانند مفاهیم اولیهٔ هندسه به درک و شهود مستقیم تجربی متکی بودند. به این دلیل، تلقی بسیاری از فلاسفه و دانشمندان از آنالیز ریاضی مشابه دیدگاهی بود که چند قرن قبل از آن در مورد جبر وجود داشت. در نظر منتقدان، آنالیز ریاضی نمونهٔ «علم‌الحیل» بود، مجموعه‌ای از روش‌ها که در دست خواص به نتایج نابدیهی و در عین حال قابل تطبیق با مشاهدهٔ علمی منجر می‌شد ولی مبنایی مستحکم و منطقی، آن‌گونه که از ریاضیات انتظار می‌رود، نداشت. مبتدیان ممکن بود در به‌کارگیری این ابزار‌ها به نتایج نادرست برسند و مقدار معتنابهی تجربه یا شم فطری لازم بود تا در استفادهٔ درست از این ابزار‌ها تبحر یابند. بدین‌ترتیب، در حاشیهٔ نقش اساسی‌ای که این علم به‌تدریج در حیطهٔ ریاضیات پیدا می‌کرد و علی‌رغم موفقیت‌های کاربردی آن، ابهامات آزار‌دهنده‌ای دربارهٔ مبانی آن وجود داشت. این معضلات در عرصهٔ آموزش به محصلان و نگارش متون تعلیمی به یک چالش تمام‌عیار برای ریاضیات مبدل شد. ادّعا شده است که صورت‌بندی دقیق مبانی آنالیز ریاضی در نیمهٔ دوم قرن نوزدهم تا حدّ زیادی مرهون کوشش‌های چند نسل از ریاضی‌دانان در نگارش کتاب‌های تعلیمی است، ادعایی که صحت آن بر تحول تدریجی متون آنالیز مقدماتی قرن نوزدهم اروپا استوار است. درواقع، در نیمهٔ دوم قرن نوزدهم نشان داده شد که مفهوم «کمیت متصل»، آن‌گونه که در هندسه از دوران باستان مورد استفاده بود، با مبانی آنالیز در تضاد نیست و می‌توان با دقیق ساختن مفهوم‌های «حد» و «پیوستگی» ابهام‌های دامنگیر آنالیز را برطرف کرد. امروز می‌دانیم که این تنها راه پیش روی ریاضیات نبود و راه‌های دیگری هم متصور بود، از جمله: در مفهوم کمیت متصل تجدید‌نظری صورت می‌گرفت، «بی‌نهایت کوچک‌ها» و «بی‌نهایت بزرگ‌ها» به عنوان انواع جدیدی از «عدد» پذیرفته می‌شدند، و آنالیز به صورتی متفاوت با صورت امروزی آن بیان می‌شد، ولی هیچ‌یک از این کار‌ها نشد، و ظاهراً غالب ریاضی‌دانان از مسیری که طی شد رضایت دارند.
در کشور‌هایی که سنت تثبیت شده‌ای در تألیف کتاب ریاضی دانشگاهی دارند بنا به مقتضیات زمان و مکان که یکی از مهم‌ترین آن ها پیش‌زمینهٔ ریاضی دانشجویان تازه‌وارد به دانشگاه است یک یا چند الگوی کلی برای نگارش کتاب «حساب دیفرانسیل و انتگرال» یا «آنالیز ریاضی مقدماتی» متداول است. در کشور ما وضعیت موجود به این صورت است:
1.    در سی چهل سال اخیر که برنامه‌های درسی علوم پایه و مهندسی عمدتاً به سبک رایج در امریکای شمالی تنظیم می‌شده است معمولاً از ترجمه‌های کتاب‌های «حساب دیفرانسیل و انتگرال» آن دیار برای تدریس استفاده می‌شود. در سنت امریکای شمالی تمایزی میان دو اصطلاح «حساب دیفرانسیل و انتگرال» و «آنالیز ریاضی مقدماتی» قائل می‌شوند. در اولی تأکید بر شیوهٔ استفاده از ابزار‌ها است و در دومی مبانی نظری به دقت بررسی می‌شوند. البته، به ظاهر، مفاهیم آنالیز ریاضی در کتاب‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز وارد می‌شوند. ولی جایگاه آن‌ها تا حدودی نامشخص است. در تمرین‌های این کتاب‌ها و آزمون‌هایی که معمولاً بر مبنای تدریس آن‌ها تدوین می‌شوند به‌ندرت اثری از این مفاهیم دیده می‌شود، و اگر هم دیده شود برای دانشجو غافلگیرکننده است زیرا او پیوندی طبیعی میان این مفاهیم و آنچه واقعاً از او انتظار می‌رود یاد بگیرد مشاهده نمی‌‌کند. بدین‌ترتیب، یکی از چالش‌های فرا روی هر مؤلف کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال تصمیم‌گیری در مورد حدّ و حدود مفاهیم نظری لازم و شیوهٔ آمیختن این مطالب با بدنهٔ اصلیِ ابزاری درس است. نکتهٔ مهم دیگری که باید در مورد کتاب‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال امریکای شمالی به آن اشاره کرد میزان پیش‌نیاز ریاضیِ مفروض در این کتاب‌هاست. خوانندهٔ این کتاب‌ها باید هندسهٔ دوبُعدی و سه‌‌بُعدی سنتی، جبر دبیرستانی، اصول کلی هندسهٔ تحلیلی در سطح مختصات و معادلات خط و صفحه، نمودار‌های ساده، توابع مثلثاتی و زبان مقدماتی نظریهٔ مجموعه‌ها و تابع‌های بین مجموعه‌ها را بداند، ولی هیچ‌گونه آگاهی از مشتق و انتگرال یا حتی بردار‌ها (مجموع بردار‌ها، حاصل‌ضرب‌های داخلی و خارجی) پیش‌نیاز فرض نمی‌شود.
2.    بیش از نیم قرن است که مقداری حساب دیفرانسیل (و گاهی انتگرال) در سال‌های آخر دبیرستان‌های ایران تدریس می‌شود، آموزش جبر‌برداری کاملاً رایج است و گاهی عملیات ماتریسی نیز تدریس می‌شود. کم ‌و کیف این مطالب گاهی سال به سال تغییر می‌کند، هیچ‌گونه هماهنگی مقید‌کننده‌ای بین دانشگاه و دبیرستان بر سر این موضوع وجود ندارد، و ایجاد این هماهنگی نیز بعید به نظر می‌رسد، زیرا منطق حاکم بر تدریس ریاضیات دبیرستانی، حتی در مقطع پیش‌دانشگاهی، آماده‌سازی برای دانشگاه نیست، بلکه افزایش احتمال موفقیت در کنکور ورودی دانشگاه با گذر از سدّ سؤال‌های چهار‌جوابی است. بنابراین، ریاضیات دبیرستانی به‌تدریج مسیری را طی کرده است که خوراک مناسبی برای سؤال‌های کنکور پدید آورد و این روند از بسیاری لحاظ برای آماده شدن برای تحصیل در دانشگاه مناسب نیست. ولی در نظام آموزشی امریکای شمالی که کتاب‌هایش دانشگاه‌های ما را تغذیه می‌کند، امروز مرز مشخصی میان ریاضیات دبیرستان و ریاضیات دانشگاه وجود دارد. در آنجا حساب دیفرانسیل و انتگرال اصالتاً یک موضوع دانشگاهی محسوب می‌شود و دانش‌آموزان قوی‌‌ترِ داوطلب رشته‌های علوم و مهندسی که بخواهند دروس حساب دیفرانسیل و انتگرال را به عنوان دروس اختیاری بگذرانند این دروس را یا با کسب مجوز یک دانشگاه نزدیک می‌گذرانند، یا اگر تعداد داوطلبان کافی باشد درسی مبتنی بر یک کتاب استاندارد دانشگاهی برای آن‌ها ارائه می‌شود. نتیجه این است که در گذر از دبیرستان به دانشگاه مشکلات ناهماهنگی و همپوشانی ایجاد نمی‌شود.
یکی از معضلات تدریس حساب دیفرانسیل و انتگرال در دانشگاه‌های ایران، به‌خصوص در نیم سال نخست، ناهماهنگی‌ای است که این دو عامل ایجاد کرده‌اند. برای دانشجوی تازه‌وارد به دانشگاه که دو سال انواع محاسبات حد و مشتق را انجام داده است حتی شنیدن این کلمات کسالت‌آور است. در نتیجه، بسیاری از دانشجویان درس ریاضی را از همان آغاز از دایرهٔ توجه خود خارج می‌کنند. اما کمی بعد این غفلت مشکل‌زا می‌شود و در نیم‌سال دوم که توابع چند‌متغیره ظاهر می‌شوند دانشجو متوجه می‌شود نه شهود کافی در مورد مفاهیم کسب کرده و نه توان پیگیری استدلال‌ها را دارد.
بدین‌ترتیب، یکی از چالش‌های اصلی رودرروی نگارنده تدوین کتابی بود که، علاوه بر ارائهٔ ابزار‌های سنتی مورد استفاده در کاربرد‌های ریاضی، ذهن خواننده را از آغاز به نکات و مفاهیمی جلب کند که تازگی داشته باشند، با تجربهٔ پیشین ریاضی او پیوند طبیعی داشته باشند، تحت تأثیر نوسانات برنامهٔ دبیرستانی قرار نگیرند، و زمینه‌ساز ایجاد بینشی سودمند درباره‌ٔ مفاهیم ریاضی باشند. اگر مؤلف حتی اندک موفقیتی در این راه کسب کرده باشد، معلوم می‌شود که این کار شدنی است و می‌توان امید‌وار بود که نسل‌های بعدی مؤلفان کتاب‌های فارسی در این زمینه موفق‌تر عمل کنند.
در اینجا لازم است نگاهی اجمالی بر بعضی ویژگی‌های کتاب بیندازیم:
1.    هدف نگارنده تألیف یک کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال است نه یک کتاب آنالیز (با توجه به تمایزی که در بالا به آن اشاره شد). بنابراین هیچ مفهوم مجردی معرفی نشده است مگر اینکه در خود کتاب مورد استفادهٔ ضروری قرار گرفته باشد. این ادّعا ممکن است با توجه به مطرح شدن مفهوم «پیوستگی یکنواخت» در فصل دوم نادرست به‌نظر برسد. ولی علاوه بر کاربردی که این مفهوم در اثبات انتگرال‌پذیری تابع پیوسته دارد، ظهور آن در فصل دوم به دنبال یک سلسله زمینه‌سازی‌های طبیعی در فصل‌های 1 و 2 در مورد تخمین خطا در محاسبهٔ حاصل ضرب و خارج قسمت است. به همین ترتیب، رویکرد ما نسبت به «پیوستگی» ریشه در محاسبه دارد و اصطلاح معادل «پایداری محاسبه» را در آغاز برای آن به کار گرفته‌ایم.
2.    کوشش شده است که احکام ریاضی تا حدّ امکان به‌دقت ثابت شوند ولی هر جا که رعایت این امر مستلزم دور شدن از جریان اصلی بحث بوده، معرفی مفاهیم جدیدی را می‌طلبیده که بجز در آن اثبات کاربرد دیگری در کتاب نداشته‌اند و دانستن اثبات به درک صورت قضیه کمکی نمی‌کرده است اثبات ارائه نشده و موضوح صراحتاً به اطلاع خواننده رسیده است. در اینجا لازم است متذکر شویم که مقصود ما از «اثبات» و رعایت «دقت ریاضی» ارائهٔ یک استنتاج کامل در دستگاه صوری نیست، بلکه استدلالی قانع‌کننده و روشنگر برای مخاطب متعارف هوشمند این کتاب است. بدین‌ترتیب، در اینجا اثری از اصول نظریهٔ مجموعه‌ها و منطق صوری مشاهده نمی‌شود. دریافت شهودی دانشجو از خط راست اساساً قابل اعتماد فرض شده است. بحث‌های دو بخش آغازی فصل 1 به‌منظور دقیق‌تر ساختن این شهود، بررسی عواقب پذیرش آن به‌ویژه صورت‌بندی اصل تمامیت به‌عنوان زیر‌بنای استفاده از کمیت‌های متصل آمده است. صورت اولی که از اصل تمامیت ارائه می‌کنیم پذیرفتن همهٔ کسر‌های اعشاری به عنوان «عدد» است. این صورتِ اصل تمامیت برای دانشجو کاملاً قابل هضم است و سعی کرده‌ایم حتی‌المقدور از این صورت در اثبات‌ها بهره بگیریم. نمونه‌هایی از این کوشش اثبات‌های قضیهٔ مقدار‌بینی و اثبات وجود ماکسیمم و مینیمم تابع‌پیوسته روی بازهٔ بستهٔ کران‌دار در فصل 2 است.
3.    در فصل 5 با عنوان «معادلات دیفرانسیل»، ضمن پرداختن به مبحث‌های سنّتی رشد و زوال‌ نمایی، معادلهٔ دیفرانسیل لژیستیک و معادلهٔ نوسانگر هارمونیک، قضیهٔ وجود یکتایی جواب معادلات دیفرانسیل بدون اثبات مطرح شده است. به اعتقاد نگارنده، بحث دربارهٔ محتوای این قضیه نه تنها در این سطح عملی است، بلکه از دو جهت برای دانشجو سودمند است. یکی اینکه دانشجو به منشأ نظری کاربردپذیری معادلات دیفرانسیل در مدل‌سازی پدیده‌های تعیّنی در علوم طبیعی پی می‌برد، و دیگر اینکه این قضیه کاربرد‌های ملموس متعددی دارد. بعضی از این کاربرد‌ها در همان فصل و بعضی دیگر در فصل‌های بعدی کتاب آمده‌اند.
4.    بحث مشتق و انتگرال توابع چند‌متغیری در اکثر کتاب‌های درسی رایج سال اول به بُعد‌های 2 و 3 محدود می‌شود. این محدود‌سازی امروزه پذیرفتنی نیست. از یک سو مفهوم ریاضی «بُعد» تعداد پارامتر‌های مستقل برای توصیف یک پدیده یا مسئله است که نه در مسائل ریاضی به عدد 3 محدود می‌شود و نه در کاربرد‌های ریاضی، و از سوی دیگر پیش‌زمینهٔ ریاضی دانشجوی امروزی به او آمادگی کافی برای رهایی از محدودهٔ سه‌بُعدی را داده است. فصل هفتم این کتاب که فصل آغازین نیمهٔ دوم کتاب است زمینهٔ جبر خطی n بُعدی لازم برای حساب دیفرانسیل و انتگرال n بُعدی را فراهم می¬کند. رویکرد ما نسبت به جبر خطی در این فصل تا حدودی متفاوت با رویکرد درس استاندارد جبر خطی است و این مبحث را به صورت نوعی هندسهٔ تحلیلی n بُعدی عرضه کرده¬ایم که گذری طبیعی از دانسته¬های دبیرستانی به جبر خطی متداول است. اصول کلی که در این فصل رعایت شده‌اند یکی محدود ساختن بحث جبر خطی به مطالبی است که در فصل‌های بعدی کتاب کاربرد دارند و دیگری کوشش در جهت القای نوعی «شهود مجازی» برای نگرش هندسی به مسائل n پارامتری است وقتی n از 3 بزرگ‌تر باشد. بنابراین، مقدار قابل توجهی جبر خطیِ کاربرد‌پذیر مثلاً دترمینان n×n و تقلیل صورت‌های درجه دوم به مجموع مجذورات در این کتاب آمده است ولی اشارهٔ مستقیمی به مفهوم «مجموع مستقیم زیر‌فضاها» نشده است. در دو مورد، بحث متن کتاب به سه بُعد محدود شده است. یک مورد هندسهٔ خم-ها(انحنا و تاب) است که فقط در صفحه و فضای سه‌بُعدی بررسی شده است. مورد مهم دیگر آنالیز ‌برداری است. در مورد اخیر انگیزهٔ کافی برای تعمیم موضوع و معرفی فرم‌های دیفرانسیل که نه تنها در ریاضیات بلکه در فیزیک و بعضی شاخه‌های مهندسی کاربرد دارند وجود داشت ولی محدود‌کردن کتاب به میزانی که بتوان‌ آن را در دو نیم‌سال تدریس کرد و این امر که آنالیز برداری سه‌بُعدی از خصوصیات ویژه و کاربرد‌های بسیار گسترده‌ای برخوردار است این محدودیت را توجیه‌پذیر کرد.
5.    نکتهٔ دیگری که باید به آن اشاره کرد استفاده از فناوری‌های کمک‌آموزشی و به‌خصوص نرم‌افزار‌های ریاضی است. شکی نیست که استفاده از نرم‌افزار‌های ریاضی امروزه نه‌تنها در کاربرد‌های ریاضی بلکه در درون ریاضیات نیز نقشی مهم و رو به رشد دارد. در چند مورد از تمرین‌های کتاب حاضر از دانشجو خواسته شده است به کمک نرم‌افزار موضوعی را تحقیق کند ولی این موارد زیاد نیست. خوشبختانه در سال‌های اخیر ارائهٔ درسی با عنوان «آزمایشگاه ریاضی» یا «ریاضیات تجربی» در دانشگاه‌‌های ما معمول شده است. امید نگارنده این است که بتواند به دنبال چاپ این کتاب با همکاری متخصصان مجموعه‌ای از آزمایش‌های ریاضی به موازات مطالب آن تهیه کند که مکمل رویکرد نظری کتاب باشد.
بخش‌ها یا زیربخش‌هایی از بعضی فصل‌های کتاب با علامت ستاره (*) مشخص شده‌اند. بررسی دست کم اجمالی این بخش‌ها توصیه می‌شود هر چند حذف آن‌ها اثری در تداوم مطلب نخواهد داشت مگر در مطالعهٔ بعضی بخش‌های ستاره‌دار بعدی.
روش ارجاع به مطالب قبلی کتاب به این صورت است: اگر فقط شمارهٔ یک قضیه، گزاره یا عنوان دیگری ذکر شود مقصود قضیه، گزاره یا عنوانی دیگر با آن شماره در همان بخش است. وقتی به مطلبی از بخش دیگر همان فصل اشاره می‌شود، شمارهٔ بخش نیز ذکر می‌شود. مثلاً اگر در بخش 3 از فصل 5 به گزارهٔ 2، بخش 2 اشاره شود، مقصود گزارهٔ 2 از بخش 2 در فصل 5 است. وقتی ارجاع به خارج فصل است، شمارهٔ فصل نیز ذکر می‌شود.

بحثی به مناسبت انتشار کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال

دکتر غلامعلی حداد عادل

نشر دانش، سال ۲۲، شماره ۴، زمستان ۱۳۸۵

حساب دیفرانسیل و انتگرال

دکتر احمد محبي آشتياني

کتاب ماه علوم و فنون، سال دوم، شماره اول، اردیبهشت ۱۳۸۷